【徹底解説】Pn+1分のPnをするのはなぜ？

生徒からこんな質問を受けました。

「確率の範囲の、Pn+1/Pnのやつ教えて欲しいです。」と。

これは「Pnの一般項」がわかった時、最大値を求めるのに有効な解法となります。

Pnの一般項が分かって、Pnの最大値を聞かれたら、Pn+1/Pnを使うとうまくいきます。

ここはパターンなので覚えてしまいましょう。

なぜこうしたらいいのかはこのあと説明します。

ちなみに、Pn+1はPnのnをn+1に変えれば出てきます。

もしPn=n²+5ならPn+1=(n+1)²+5で出せます。　

Pn+1とPnが出せたら、次はPn+1/Pnが1より大きいか小さいかで場合分けをします。

例えばですが、色々頑張ったらPn+1/Pn=(n-4)(n-6)/(n+1)(n-9)と出てきたとします。

Pn+1/Pn＞1のとき、

Pn+1/Pn=(n-4)(n-6)/(n+1)(n-9)>1

(n-4)(n-6)>(n+1)(n-9) （分母を払う）

n²-10n+24>n²-8n-9

-2n>- 33

n<33/2=16.5

nは自然数であるので、nが1から16のときはPn+1/Pn>1、分母を払って、Pn+1>Pnが成り立つのです。

これはどういうことかというと、nが1から16のときはn項よりもn+1項の方が大きくなる、ということです。

1項よりも2項が(n=1)大きく、2項よりも3項が(n=2)大きく、・・・16項よりも17項が(n=16)大きくなるのです。

Pn+1/Pn<1のときは不等号が逆になり、

n>16.5

nは自然数だからnが17以上になるときにPn+1/Pn<1、分母を払って、Pn+1<Pnが成り立つのです。

つまり、n+1項よりもn項が大きくなる（n+1項の方が小さくなる）ということなので、

17項よりも18項が(n=17)、18項よりも19項が(n=18・・・と無限に小さくなっていきます。

以上のことを踏まえると

P₁<P₂<…<P₁₆<P₁₇>P₁₈>P₁₉>…となって、Pnが最大になるのはn=17だと分かるわけです！！

たいよう

私を３つの単語で表すとすれば、 京大生、テニスプレイヤー、チェリーボーイ。